Машиностроение и механика

Критерии согласия опытных и теоретических распределений показателей надежности

Выбор теоретического закона распределения показателя надежности производится, как это было показано выше, в соответствии с областью применения и с учетом величины коэффициента вариации.

Совмещение в одном масштабе опытной и теоретической дифференциальных кривых (полигон распределения и кривая плотности вероятности) позволяет визуально судить о степени их совпадения или согласия.

Однако в некоторых случаях нужны более точные и объективные методы оценки совпадения опытных и теоретических данных по так называемым «критериям согласия». В частности, такая проверка необходима в тех случаях, когда величина коэффициента вариации близка к 0,33, вследствие чего рассеивание показателя надежности может быть подчинено как закону нормального распределения, так и закону распределения Вейбулла. В таких случаях предпочтение тому или иному закону распределения показателя надежности может быть сделано только на основе критерия согласия.

Физический смысл проверки «согласия» заключается в том, чтобы определить степень расхождения опытной и теоретической вероятностей. При этом в качестве меры совпадения или расхождения могут быть выбраны различные критерии согласия: сумма квадратов отклонения теоретических вероятностей от опытных, наибольшее или суммарное отклонение кривой накопленных опытных вероятностей от интегральной кривой теоретического закона распределения и т. д.

Критерий согласия является случайной величиной и, следовательно, подчиняется определенному закону распределения. Поэтому по величине критерия согласия в каждом конкретном случае можно определить вероятность совпадения опытных и теоретических функций и на этом основании принять или отбросить выбранный теоретический закон распределения показателя надежности. Однако при этом следует иметь в виду, что как бы не велика была вероятность совпадения, она свидетельствует только о том, что выбранный закон не противоречит опытным данным, но не может явиться гарантией того, что этот закон в данном случае лучше, чем какой-либо другой выравнивает опытную информацию.

Поэтому наиболее удачно используются критерии согласия в тех случаях, как это было в примере с доремонтными ресурсами двигателя, когда необходимо выбрать один теоретический закон распределения из двух или нескольких. В этом случае можно не сомневаться, что наиболее приемлемым окажется тот закон распределения, совпадение которого с опытной информацией характеризуется наименьшей величиной расхождения.

В теории вероятностей известно несколько критериев согласия. Применительно к показателям надежности строительных и мелиоративных машин чаще используются критерий Пирсона c² или критерий Колмогорова.

Критерий c² определяется как сумма квадратов отклонений опытных и теоретических частот в каждом интервале статистического ряда информации:

, (19)

где n - число интервалов в статистическом ряду; m_опi - опытная частота (количество случаев) в i-ом интервале статистического ряда; m_Тi - теоретическая частота в i-ом интервале;

, (20)

где N - общее количество испытываемых машин или повторность информации.

Для определения критерия согласия c² строится укрупненный статистический ряд информации при условии:

m_i³5 и n³4.

При построении укрупненного статистического ряда допускается объединение тех интервалов, в которых число случаев m_i<5. В целях уменьшения количества арифметических вычислений не рекомендуется увеличивать число интервалов n больше 7. Так, при расчете доремонтных ресурсов двигателя удобный для определения критерия согласия c² укрупненный статистический ряд приведен ниже в табл. 5.

В 3- и 4-ой строках укрупненного статистического ряда приведены значения теоретических частот соответственно закону нормального распределения и закону распределения Вейбулла, подсчитанных по прил. 2.

Таблица 5