Абсолютные характеристики рассеивания показателей надежности - дисперсия и среднее квадратическое отклонение
Рассеивание является важным параметром показателя надежности, позволяющей переходить от общей совокупности к показателям надежности отдельных машин. В инженерной практике эксплуатации машин на основании характеристик рассеивания показателя надежности представляется возможным решать такие важные хозяйственные задачи, как определение сроков постановки отдельных машин на ремонт и стоимости их ремонта, наименьшей и наибольшей наработки на один эксплуатационный отказ и др.
Вследствие рассеивания одиночные значения показателей надежности ti отклоняются от своего среднего значения на величину ti-t. Эта разность называется «отклонением», а среднее значение отклонения характеризует величину рассеивания показателя надежности
, (6)
где N - повторность информации или количество испытанных машин.
Недостатком расчета рассеивания по формуле (6) является необходимость определения абсолютных значений отклонений, что при сложных расчетах может привести к ошибкам.
Более распространенной характеристикой рассеивания при испытании машин на надежность является дисперсия D, которая равна среднему значению квадратов отклонений:
, (7)
где - дисперсия, полученная в результате обработки информации по испытанию на надежность относительно небольшого количества машин.
Опытная дисперсия является смещенной по отношению к дисперсии генеральной совокупности этих же машин (т. е. очень большого их количества). Опытная и генеральная D дисперсии связаны между собой соотношением
.
Окончательно получим:
. (8)
Пользоваться значением дисперсии не всегда удобно, так как абсолютная величина дисперсии получается, как правило, слишком большой и, кроме того, размерность дисперсии равна квадрату размерности показателя надежности.
В связи с этим наиболее распространенной и удобной для расчетов характеристикой рассеивания является среднее квадратическое отклонение:
. (9)
Как видно из уравнения (9), s значительно меньше по абсолютной величине, чем дисперсия, а его размерность совпадает с размерностью показателя надежности.
Дисперсия D и среднее квадратическое отклонение s являются абсолютными характеристиками рассеивания показателя надежности.
При незначительном количестве информации (N<25) среднее квадратическое отклонение определяется по уравнению:
. (10)
При наличии статического ряда информации (N > 25) среднее квадратическое отклонение:
. (11)
Определим по выражению (11) среднее квадратическое отклонение доремонтного ресурса двигателя:
=1000 мото-ч.
Расчеты с использованием уравнений (3) и (11) связаны с большим количеством арифметических вычислений и поэтому достаточно трудоемки.
При большом количестве информации (наличие статического ряда) для определения и s может быть рекомендован упрощенный метод расчета – метод сумм. Его сущность заключается в следующем.
Из статистического ряда выписывают две строки: значения середин интервалов и соответствующие им частоты таблица 3.
Таблица 3
Определение коэффициентов а1, а2, b1 и b2 по методу сумм
Середина интервала, мото-ч |
1500 |
2500 |
3500 |
4500 |
5500 |
6500 |
7500 |
Примечание |
Частота mi |
2 |
4 |
25 |
28 |
10 |
0 |
1 |
N = 70 |
а1 = 39 |
2 |
6 |
31 |
- |
11 |
1 |
1 |
b1 = 13 |
а2 = 10 |
2 |
8 |
- |
- |
- |
2 |
1 |
b2 = 3 |
К этим строкам приписывают еще две, при этом в третьей строке, примерно на ее середине, делается прочерк одного интервала, а в четвертой строке - три прочерка: средний против прочерка третьей строки и еще два - слева и справа от него.
В третьей строке последовательно складывают частоты от начала строки до прочерка и от конца строки до прочерка. Суммы чисел подсчитывают и обозначают соответственно коэффициентами а1 и b1 (см. табл. 3).
В четвертой строке аналогичным образам складывают числовые значения третьей строки. Суммы чисел от начала четвертой строки до первого прочерка и от конца строки до третьего прочерка обозначают соответственно а2 и b2.
Среднее значение показателя надежности и среднее квадратическое отклонение определяются по уравнениям:
; (12)
, (13)
где А - величина одного интервала; tс - значение середины того интервала, против которого сделан прочерк в третьей строке.
.
В нашем расчете:
А=1000 мото-ч;
tс=4500 мото-ч;
;
;
мото-ч;
мото-ч.
В литературе по теории вероятностей и теории надежности часто для определения среднего значения (математического ожидания) и среднего квадратического отклонения или дисперсии используются понятия начального и центрального моментов.
Для определения моментов статистический ряд информации представляется в виде системы расположенных на одной прямой материальных точек, массой которых является вероятность интервала рi, а абсциссой - значение показателя надежности в середине этих интервалов tiс.
Начальным моментом k-го порядка называется сумма произведений всех масс (рi) на плечи (tiс) в степени k относительно
точки О.
Центральным моментом k-го порядка называется сумма произведений всех масс (рi) на плечи в степени k относительно точки Ц (см. рис. 2).
В положении, представленном на рис. 2, система материальных точек находится в равновесии. Следовательно, начальный момент первого порядка:
.
Учитывая, что , получим:
.
Таким образом, начальный момент первого порядка равен среднему значению, или математическому ожиданию случайной величины (показателя надежности).
Определим, чему равен центральный момент второго порядка. В соответствии с формулировкой получим:
. (14)
Таким образам, центральный момент второго порядка равен дисперсии, а среднее квадратическое отклонение s — корню квадратному из центрального момента второго порядка
. (15)
Кроме указанных основных зависимостей, центральные моменты высшего порядка характеризуют некоторые другие свойства кривых распределения. Так, например, центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию кривой, а центральный момент четвертого порядка - эксцесс и т. д.