Поисковые методы решения многофакторных оптимизационных задач
В таких оптимизационных задачах F(x1, x2, …, xn) – целевая функция двух и более аргументов.
F(x1, x2, …, xn) → min.
Рассмотрим Y=F(x1;x2). В этом случае пространство переменных есть плоскость.
Поверхность целевой функции является геометрическим местом точек, заданных концами ординат Y(M). Поверхность целевой функции может быть изображена проекциями линий сечения плоскостями постоянного уровня. Такие линии называются линиями постоянного уровня целевой функции, или просто линиями уровня.
Нужно найти такие х1 и х2, при которых Y → min.
Необходимо предварительно установить точность решения (
). Точность решения оптимизационной задачи определяется тем, как в последующем будут использованы результаты решения. Оптимальные значения технологических параметров, найденные в результате решения оптимизационной задачи, необходимо поддерживать при проведении технологического процесса. Для этого служат регуляторы соответствующих параметров: температуры, объемных и массовых расходов и т.п. Регуляторы позволяют измерять и поддерживать значения параметров с некоторой точностью, составляющей обычно от 0.5% до 5% диапазона измерения. Поэтому нет смысла задавать точность решения оптимизационной задачи более жестко, поскольку регулятор впоследствии не позволит поддерживать значение параметра с высокой точностью.
Далее необходимо определить область допустимых решений оптимизационной задачи. Для этого используют ограничения первого рода, наложенные на величины оптимизирующих факторов. Эти ограничения возникают на этапе постановки задачи. Например, если оптимизирующим фактором некоторого технологического процесса выбрана температура, то ее значения ограничены сверху максимально допустимыми значениями, при которых работоспособен аппарат, или температурой кипения растворов (если аппарат гидрометаллургический). Минимальное значение температуры не может быть ниже температуры окружающей среды (если не используется устройство охлаждения), а также ниже температуры затвердевания или кристаллизации расплава (если аппарат пирометаллургический и предназначен для плавки).
Система ограничений дает возможность в пространстве переменных построить область, внутри которой и на границах выполняются совместно все ограничения задачи. Такая область называется областью допустимых решений (ОДР). Для целевой функции двух переменных пространство переменных представляет собой плоскость, а область допустимых решений – часть плоскости, ограниченная прямыми. В случае трех переменных пространство становится объемным, а область допустимых решений является многогранником, ограниченным плоскостями. Для четырех и более переменных привычных геометрических образов нет, говорят о гиперпространстве переменных и области допустимых решений, ограниченных гиперплоскостями.
%
%
а1≤x1≤b1
a2≤x2≤b2
N = n1 ∙ n2
Дальнейшее решение оптимизационной задачи состоит в исследовании области допустимых решений в поисках оптимального решения. При этом надо иметь в виду, что методы решения, описанные ранее для однофакторных задач, не могут быть использованы.
Пусть целевая функция имеет три оптимизирующих фактора. Используя метод сплошного поиска, мы могли бы построить и исследовать область допустимых решений. В нашем случае такая область представляет собой параллелепипед. Предположим, нас интересует точность решения в 1% от диапазона изменения каждого фактора. Мы могли бы разбить интервал каждого фактора на сто шагов, что привело бы к пространственной сетке, содержащей сто плоских слоев, в каждом из которых количество узлов составило бы десять тысяч. Таким образом, общее число узлов на области допустимых решений составило бы миллион. Далее следовало бы вычислить (и запомнить значения) целевую функцию в каждом узле, отсортировать полученные значения и найти экстремум. Значения факторов в точке экстремума и были бы решением оптимизационной задачи. Однако для получения решения таким путем потребовалось бы слишком много времени, поскольку вычисление целевой функции каждый раз требует некоторых затрат времени. К тому же требуется время на сортировку и поиск оптимального решения, а также огромный объем памяти для хранения результатов вычислений. А если число оптимизирующих факторов (аргументов целевой функции) больше трех, то легко показать, что задача вообще не может быть решена за приемлемое время - пока мы занимаемся ее решением, условия технологического процесса изменятся. Поэтому усилия специалистов в области прикладной математики были сосредоточены в направлении разработки «быстрых» методов решения многофакторных оптимизационных задач. В настоящее время создано несколько групп методов для решения таких задач.
Математиками разработаны следующие методы для решения многофакторных оптимизационных задач:
· Метод координатного спуска.
· Градиентные методы.
· Симплексные методы.
Для всех трёх способов решения задач есть общие требования, и есть отличительные особенности, присущие каждому методу.
Общие требования:
1. Целевая функция должна быть вычислима (задана аналитически, либо известен алгоритм вычислений, либо имеется таблица табулированных значений).
2. Так как все методы являются численными, приближёнными, до начала решения должны быть определена точность по каждому из оптимизационных факторов. Достижение заданной точности является критерием завершения поиска.
Наряду с общими поисковые методы отличаются элементами стратегии поиска, к которым относятся:
1. Начальная точка поиска.
2. Направление поиска.
3. Величина начального шага.
4. Способ сокращения начального шага и коэффициент сокращения.
Любой поисковый метод из перечисленных обеспечивает наличие решения, сходимость, и, если целевая функция унимодальна (один минимум), то и единственное решение.
Начальная точка поиска – любая точка из области допустимых значений решений (ОДР). ОДР ограничена, если задача решается как задача с ограничениями. Ограничения назначаются на этапе математической постановки задачи. Начальная точка поиска может находиться внутри области, на границе области или на пересечении границ, т.е. в вершине ОДР.
Направление поиска – выбирается в каждом методе, исходя из особенностей метода.
Начальный шаг. Идея поисковых методов – движение по области допустимых решений, причём направление и размер шага зависят от результатов решения, полученных на предыдущем шаге. При этом, для более быстрого получения решения (за меньшее число вычислений) следует выбирать начальный шаг достаточно большим: величина начального шага 20…25% от интервала изменения фактора.
Способ и коэффициент сокращения шага. Двигаясь по ОДР начальным шагом, можно решить задачу с точностью, равной величине начального шага, для практических целей этого не достаточно. Для достижения заданной точности решения требуется продолжить поиск, исследуя область допустимых решений шагами меньшей величины. Последующая величина шагов получается делением начального шага на коэффициент сокращения. Коэффициент сокращения шага обычно от 2-х до 5-ти.