Машиностроение и механика

Аналитические методы решения оптимизационных задач

Для реализации аналитических методов целевая функция должна быть задана аналитически. Аналитические методы могут использоваться для решения однофакторных и многофакторных задач.

1. Однофакторные задачи. Пусть целевая функция зависит от единственного аргумента. Для поиска ее экстремума (скажем, минимума) используем известные приемы математического анализа. Достаточно взять производную функции и приравнять ее к нулю, а затем решить полученное уравнение. Для определения типа экстремума (минимум, максимум или точка перегиба) потребуется также взять вторую производную. Знак второй производной указывает на тип экстремума: положительное значение говорит о том, что найден минимум, отрицательное – максимум функции.

y = f (x) → min

y = 2x² + 4x – 8 → min

y'=0                               4x + 4 = 0

x = -1

y''Є(- ∞; +∞ )                y'' = 0 – точка перегиба

y'' < 0 – максимум функции

y'' > 0 – минимум функции.

Аналитический метод для однофакторных задач предъявляет высокие требования к целевой функции: она должна быть задана аналитически и иметь 1-ю и 2-ю производные. В этом случае поиск решения  может быть осуществлен методами математического анализа.

2. Многофакторные задачи.

В многофакторных задачах целевая функция зависит от двух и более аргументов.

F(x₁, x₂, …, x_n) – функция нескольких переменных (≥2). Пусть, например, аналитическое выражение целевой функции имеет следующий вид:

у = 2х₁² + 3х₂² + 4х₁ + 5х₂ – 16.

4х₁ + 4 = 0

6х₂ + 5 = 0.

Для решения воспользуемся методами математического анализа применительно к функции нескольких переменных. Возьмем частные производные по каждому аргументу и приравняем их к нулю. Получим систему уравнений, решая которую определим условия экстремума целевой функции.  В нашем примере получаем систему линейных уравнений, решая которую находим условия экстремума целевой функции: х₁=-1; х₂=-5/6.

Аналитические методы для решения многофакторных задач так же используются крайне редко, т.к.:

-функция должна быть задана аналитически (иметь 1-ю и 2-ю производные);

-в ходе решения задачи можно прийти к системе нелинейных уравнений, которую все равно придется решать численными, приближёнными методами.